Resuelve por reducción: 4x + 6y = 2 | 6x + 5y = 1

Introducción

La resolución por reducción es un método utilizado en álgebra para encontrar la solución de un sistema de ecuaciones lineales. Este método consiste en eliminar una variable al multiplicar una o ambas ecuaciones por un número adecuado para obtener coeficientes iguales o opuestos en la variable que se desea eliminar. A continuación, se realiza una resta para obtener una nueva ecuación con solo una variable. Luego, se despeja esa variable y se sustituye en la otra ecuación para encontrar el valor de la variable restante. Finalmente, se sustituye la solución encontrada en una de las ecuaciones originales para verificar su validez.

Qué es la resolución por reducción

La resolución por reducción es un método algebraico utilizado para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Este método se basa en el principio de que si dos ecuaciones tienen coeficientes iguales o opuestos en una variable, es posible eliminar esa variable y encontrar su valor. El objetivo de este método es reducir el sistema de ecuaciones a una sola ecuación con una sola variable, lo que facilita su resolución.

Paso 1: Multiplicación de las ecuaciones

En este paso, se debe multiplicar una o ambas ecuaciones por un número adecuado para obtener coeficientes iguales o opuestos en la variable que se desea eliminar. En el sistema de ecuaciones propuesto, tenemos las siguientes ecuaciones:

4x + 6y = 2
6x + 5y = 1

Para eliminar la variable "y", podemos multiplicar la primera ecuación por -5 y la segunda ecuación por 6, de la siguiente manera:

-5(4x + 6y) = -5(2)
6(6x + 5y) = 6(1)

Simplificando estas ecuaciones, obtenemos:

-20x - 30y = -10
36x + 30y = 6

Paso 2: Resta de las ecuaciones

En este paso, se deben restar las ecuaciones obtenidas en el paso anterior para obtener una nueva ecuación con solo una variable. Restando la segunda ecuación de la primera, se tiene:

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(-20x - 30y) - (36x + 30y) = (-10) - (6)

Simplificando esta ecuación, obtenemos:

-56x - 60y = -16

Paso 3: Despeje de una variable

En este paso, se debe despejar una de las variables de la ecuación obtenida en el paso anterior. En este caso, vamos a despejar la variable "y". Despejando "y", tenemos:

-56x - 60y = -16
-60y = -16 + 56x
-60y = 56x - 16
y = (56x - 16)/(-60)

Simplificando esta ecuación, obtenemos:

y = (-14/15)x + 4/15

Por lo tanto, tenemos la primera parte de nuestra solución.

Paso 4: Sustitución en la otra ecuación

En este paso, se debe sustituir la solución encontrada en una de las ecuaciones originales para encontrar el valor de la variable restante. Sustituyendo la solución encontrada en la segunda ecuación, tenemos:

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6x + 5((-14/15)x + 4/15) = 1

Simplificando esta ecuación, obtenemos:

6x - (14/3)x + 4/3 = 1
6x - (14/3)x = 1 - 4/3
(18/3)x - (14/3)x = 3/3 - 4/3
(4/3)x = -1/3
x = -1/3 * 3/4
x = -1/4

Por lo tanto, hemos encontrado el valor de la variable "x".

Paso 5: Resolución de la ecuación resultante

En este paso, se debe sustituir el valor de la variable encontrada en una de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable. Sustituyendo el valor de "x" en la primera ecuación, tenemos:

4(-1/4) + 6y = 2
-1 + 6y = 2
6y = 3
y = 3/6
y = 1/2

Por lo tanto, hemos encontrado el valor de la variable "y".

Paso 6: Sustitución de la solución encontrada

En este paso, se debe sustituir la solución encontrada en una de las ecuaciones originales para verificar su validez. Sustituyendo los valores de "x" y "y" en la primera ecuación, tenemos:

4(-1/4) + 6(1/2) = 2
-1 + 3 = 2
2 = 2

Cómo resolver sistemas de ecuaciones lineales con el método gráfico

La ecuación es verdadera, lo que significa que nuestra solución es correcta.

Conclusión

La resolución por reducción es un método eficaz para resolver sistemas de ecuaciones lineales. A través de los pasos mencionados, es posible encontrar la solución del sistema de ecuaciones propuesto. En este caso, hemos encontrado que la solución es x = -1/4 y y = 1/2. Es importante recordar que siempre se debe verificar la solución encontrada sustituyéndola en una de las ecuaciones originales.